【受験生必見】数学1問チャレンジ#8 難易度★★☆☆☆

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こんにちは!理系大学生のユウキです!このサイトでは大学受験に頻出の数学の問題を上げていこうと思います!高校生や受験生の方ぜひ、1日1問解いて合格へ1歩近づきましょう!

今回の問題は数列の基本問題です。めちゃくちゃよくでる基礎問題なので絶対に忘れないようにここで復習しておきましょう!

問題

初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3n^2-3n$となる数列を{$a_n$}とする。

(1)一般項$a_n$を求めなさい。

(2)$a_2+a_5+a_8+…..+a_{3n-1}$の和を求めなさい。








解答・解説

まずは基本の定理の復習です。

$S_n$が分かっているときの$a_n$の求め方

$S_n$がわかっているときには以下の公式が成り立ちます。

$n\geqq2$のとき$a_n=S_n-S_{n-1}$

これを利用して$S_n$から$a_n$を求めましょう。

この公式を使うときの注意点

$n=1$のときはこの公式を使えません。

$n=1$のときは$a_1=S_1-S_0$となるが$S_0$は定義していないのでこの公式で$a_1$を記述してしまうと記述式で減点されてしまうのでやめましょう。

$n=1$のときは$a_1=s_1$で求め、$a_1$が先ほどの$a_n$に一致する場合はそれをきちんと記述しましょう。(以下で行うのでそちらを参考)

それでは上の公式を使って求めていきましょう!

(1)

$n\geqq2$のとき

$a_n=S_n-S_{n-1}$

$ =3n^2-3n-(3(n-1)^2-3(n-1))$

$ =6n-6$

また、$n=1$のときは$S_1=a_1=0$となる。$n=1$のとき$6\times1-6=0$なので$6n-6$は$n=1$のときも成り立つ。

よって$a_n=6n-6$

答え  $a_n=6n-6$

(2)

$a_2+a_5+a_8+…..+a_{3n-1}$の各項を$b_n$とすると

$b_k=6(3k-1)-6=18k-12$(なぜこうなるかわからない人は実際の数列を少し計算すると$6,24,42,$となり$18k-12$となることが分かりやすい)よって、この数列の各項の和は

$\sum_{k=1}^{n} 18k-12=18\times \frac{1}{2}n(n+1)-12n=9n^2-3n$となる。

答え  $ 9n^2-3n $

皆さんできたかな?以上数列の基本問題でした。

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