こんにちは！理系大学生のユウキです！このサイトでは大学受験に頻出の数学の問題を上げていこうと思います！高校生や受験生の方ぜひ、１日１問解いて合格へ１歩近づきましょう！
今回の問題は指数関数、対数関数のちょい難関レベルの問題です。難易度は割と高いですが頻出の問題なので触れておきましょう。
問題
$\log_{10} 3=0.4771$とする。
（１）$3^n$が$10$桁の数となる最小の自然数$n$の値を求めよ。
（２）$3$進法で表すと$100$桁の自然数$N$を、$10$進法で表すと何桁の数になるか求めよ。
解答・解説
（１）(2)はともに桁数の関わる問題です。桁数の関わる問題は基本的に$log_{10} a$を使います。
今回の場合は$3^n$が$10$桁になるので$10^9\leqq3^n<10^{10}$となるような最小な$n$を求める問題です。なので先ほどの式の全部の辺に$\log_{10}$をつけると
$9\leqq n log_{10} 3<10$となる。仮定より$\log_{10} 3=0.4771$なので
$9\leqq 0.4771n<10$よって
$18.8…\leqq n<20.9…$となるので条件を満たす最小の$n$は$19$
答え $n=19$
(2)
$N$は$3$進法で表すと$100$桁になるので
$3^{99} \leqq N<3^{100}$が$N$の範囲となる。
全ての辺に$\log_{10}$をつけると
$99 log_{10} 3\leqq log_{10} N< 100log_{10} 3$となり$\log_{10} 3=0.4771$より
$99 \times0.4771\leqq log_{10} N< 100\times0.4771$計算していき
$47.2329\leqq log_{10} N<47.71$
$10^{log_{10} N}=N$より
$10^{47.2329}\leqq N<10^{47.71}$よって
$10^{47}\leqq N<10^{48}$となるので答えは$48$となる。
これは単純に$10^1=10$となり$2$桁$10^2=100$で$3$桁のように、
$10^n$の桁数は$n+1$になるからです。よって$10^{47}\leqq N<10^{48}$の場合$N$は$48$桁になるというわけです。
答え $48$
桁数を求める問題では$\log_{10} a$を考える！
$log_{10} a+1$の値より小さい自然数の中で最も大きいものが$a$の桁数になるということを覚えておこう
例）
$a=200$のとき$\log_{10}{200}+1=2+\log_{10}{2}+1$
$0<\log_{10}{2}<1$より$3<\log_{10}{200}+1<4$となるので、
今回の場合条件を満たすのは$3$となり、実際の$200$の桁数と一致する。
以上指数対数の桁を求める問題でした。もっと難しい問題もたくさんあるのでこれから扱っていきたいと思います！
夏休みしっかり勉強して合格をつかみましょう！
