【受験生必見】数学1問チャレンジ#6 難易度★★★★☆

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こんにちは!理系大学生のユウキです!このサイトでは大学受験に頻出の数学の問題を上げていこうと思います!高校生や受験生の方ぜひ、1日1問解いて合格へ1歩近づきましょう!

今回の問題は確率の難関大レベルの問題です。確率は難関大でもよく出される問題なのでいろんな問題に触れておきましょう。

問題

$n$を$2$以上の自然数とする。さいころを$n$回振り、出た目の最大値$M$と最小値$L$の差$M-L$を$X$とする。

$X=5$である確率を求めよ   (京都大)                                        











解答・解説

$X=5$より最大値$M$と最小値$L$は$M=6,L=1$となる。

よって、さいころを$n$回降った時に一回以上$6$が出て、かつ一回以上$1$がでたときの確率を求める。これをそのまま求めようとしてもなかなか難しいだろう。確率でこのように求め方がわからないときは余事象が求められるかを考えよう。今回の問題の場合、余事象を求めたほうが楽になる。

この確率の余事象は$n$回で$1$が一回も出ないと、$n$回で$6$が一回も出ない確率から上記の二つの確率の重複している$n$回で$1$と$6$がどちらも出ないときの確率を引いた確率である。

$n$回で$1$が一回も出ない確率と、$n$回で$6$が一回も出ない確率はどちらも$(\frac{5}{6})^n$($1$が$1$回も出ない確率は$n$回すべて$2-6$が出る確率)となる。

また、 $n$回で$1$と$6$がどちらも出ないときの確率は $(\frac{4}{6})^n$($1$と$6$が$1$回も出ない確率は$n$回すべて$2-5$が出る確率) となる。

よって、 さいころを$n$回降った時に一回以上$6$が出て、かつ一回以上$1$がでたときの余事象

$(\frac{5}{6})^n+(\frac{5}{6})^n-(\frac{4}{6})^n$となるので 、求める問題の答えは

$1- ((\frac{5}{6})^n+(\frac{5}{6})^n-(\frac{4}{6})^n)=1-2\times (\frac{5}{6})^n + (\frac{2}{3})^n$

となる。

答え $1-2(\frac {5}{6})^n + (\frac {2}{3})^n$

 

確率は迷ったときはこれ!

余事象なら求められるかを考える!

以上で確率のいつもより難しめの問題でした。もっと難しい問題もたくさんあるのでこれから扱っていきたいと思います!

夏休みしっかり勉強して合格をつかみましょう!

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