こんにちは！理系大学生のユウキです！このサイトでは大学受験に頻出の数学の問題を上げていこうと思います！高校生や受験生の方ぜひ、１日１問解いて合格へ１歩近づきましょう！
今回の問題は$a_{n+1}=pa_n+q$という形の数列の求め方です。この問題は数列の基礎です。上級レベルの問題は、この形に行き着くことが多いので必ずここで完璧にしましょう！
問題
次の条件によって定められる数列{$a_n$}を求めよ。
$a_1=0$ $a_{n+1}=3a_n+6$
解答・解説
漸化式の問題は式変形を繰り返して解ける形まで変形していきましょう。
まずは式変形をします。
$a_{n+1}=3a_n+6$
$a_{n+1}+3=3(a_n+3)$
式変形の方法
$a_{n+1}=pa_n+q$の変形
① $a_{n+1}$と$a_n$を$\alpha$に変形。
② $\alpha$を求める。
③ $a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$ に代入
これによって③の式に変形することができます。
今回の問題の場合は、$a_{n+1}=3a_n+6$なので
$p=3$ 、また$ \alpha=3\alpha+6$
$ \alpha=-3$
よって$a_{n+1}+3=3(a_n+3)$ ($-(-3)$なので$+3$に変わる)
ここで$b_n=a_n+3$と置くと
$a_{n+1}+3=3(a_n+3)$は$b_{n+1}=3b_n$になります。また$b_1=a_1+3=0+3=3$
よって$b_n=3\times3^{n-1}=3^n$
$a_{n+1}=pa_n$ $a_1=q$ の解き方
このような式は$a_n=q\times p^{n-1}$となる
これは公式のようなものなのでこのまま覚えておきましょう。
$b_n=a_n+3$なので、$3^n=a_n+3$よって
$a_n=3^n-3$
答え $a_n=3^n-3$
今回は数列の基本的な問題でした！この形の漸化式は頻出ですので必ずできるようにしましょう！
