【受験生必見】数学1問チャレンジ#4 難易度★★★☆☆

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こんにちは!理系大学生のユウキです!このサイトでは大学受験に頻出の数学の問題を上げていこうと思います!高校生や受験生の方ぜひ、1日1問解いて合格へ1歩近づきましょう!

今回の問題は$a_{n+1}=pa_n+q^r$という形の数列の求め方です。この問題は数列の応用レベルの問題です。応用レベルですが共通テストでは当たり前に出てくるレベルですのでできるようにしていきましょう!

問題

次の条件によって定められる数列{$a_n$}を求めよ。

$a_1=2$

$a_{n+1}=3a_n+2^n$








解答・解説

漸化式の問題は式変形を繰り返して解ける形まで変形していきましょう。

まずは式変形をします。$a_{n+1}=3a_n+2^n$の両辺を$2^{n+1}$で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3a_n}{2^{n+1}}+\frac{1}{2}$

なぜ$2^n$ではなく$2^{n+1}$で割るのか?

この理由は「左辺が$a_{n+1}$であること」にあります。

もし$2^n$で割ってしまうと$\frac{a_{n+1}}{2^n}$となってしまいます。

しかし$2^{n+1}$で割ると$\frac{a_n+1}{2^{n+1}}$となります。

こうすると$n$の数字が一致してわかりやすくなるため計算ミスを減らすことができます。

また右辺は$2^{n+1}$を$2^n\times2$に変換することで$\frac{a_n}{2^n}$に変換できます。

今回の式の場合は

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}\times\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}$となる。

ここで$\frac{a_n}{2^n}=b_n$ とすると

$b_{n+1}=\frac{3}{2}b_n+\frac{1}{2}$となる。

また、$b_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{2}{2}=1$

ここまでくればよく見る形でしょう。この先の解き方がわからない方はこちらで復習

$\alpha=\frac{3}{2}\alpha+\frac{1}{2}$より$\alpha=-1$より2行上の式は

$b_{n+1}+1=\frac{3}{2}(b_n+1)$ に変形。

ここでさらに$b_n+1=c_n$と置くと $c_1=b_1+1=2$また、

$c_{n+1}=\frac{3}{2}c_n$となるので$c_n=2\times(\frac{3}{2})^{n-1}$と$c_n$が求まります。

$b_n+1=c_n$だったので$b_n=2\times(\frac{3}{2})^{n-1}-1$

また$\frac{a_n}{2^n}=b_n$とおいていたので、

$\frac{a_n}{2^n}=2\times(\frac{3}{2})^{n-1}-1$これを解き、

$a_n=2^n\times(2\times(\frac{3}{2})^{n-1}-1)=4\times3^{n-1}-2^n$

となります

答え  $4\times3^{n-1}-2^n$

今回は数列の応用編の問題でした!このレベルの漸化式は共通テストでもよく出てくるので必ずできるようにしましょう!

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