こんにちは！理系大学生のユウキです！このサイトでは大学受験に頻出の数学の問題を上げていこうと思います！高校生や受験生の方ぜひ、１日１問解いて合格へ１歩近づきましょう！今回は定積分の問題です！頑張ってください！
問題
次の積分を求めよ。
$\int_{3\sqrt3}^{-\sqrt3} \frac{dx}{x^2+9}$
解答
今回の問題は$\int\frac{dx}{x^2+a} $の形の積分の問題の解き方です。
それでは解説に入っていきます。
まずは$x=3tan\theta$と置きます。すると
$dx=3\frac{1}{cos^2\theta}d\theta$また、
| $x$ | $-\sqrt3$ | → | $3\sqrt3$ |
| $3tan\theta$ | $-\frac{1}{6}\pi$ | → | $ \frac{1}{3}\pi $ |
$x^2=9tan\theta$より$\int_{ \frac{1}{3}\pi }^{ -\frac{1}{6}\pi } \frac{dx}{9tan^2\theta+9}$
$= \int_{ \frac{1}{3}\pi }^{ -\frac{1}{6}\pi } \frac{dx}{9(tan^2\theta+1)}$
ここで$1+tan^2\theta=\frac{1}{cos^2\theta}$をりようして
$ \frac{dx}{9(tan^2\theta+1)}=\frac{1}{9}cos^2\theta$よって
$ \int_{3\sqrt3}^{-\sqrt3} \frac{dx}{x^2+9}= \int_{ \frac{1}{3}\pi }^{ -\frac{1}{6}\pi } \frac{cos^2\theta}{9}\times\frac{3}{cos^2\theta}d\theta =\frac{1}{3}(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})\pi=\frac{1}{6}\pi$
解 $\frac{1}{6}\pi $
今回は微積分の数Ⅲの問題でした！みなさんはできたかな？
これからも数学の問題を上げていこうと思いますのでぜひ見てください！
