こんにちは！理系大学生のユウキです！このサイトでは大学受験に頻出の数学の問題を上げていこうと思います！高校生や受験生の方ぜひ、１日１問解いて合格へ１歩近づきましょう！
問題
関数
$f(x)=\int_{-3}^{x}(t^2+2t-8)dt$
の極値を求めよ。
解答
まずはこの問題を解く前に公式の復習をします。下の公式を知っている方はとばしてしまって結構です。
- $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}g(t)dt=g(x)$ （$a$は定数）
$\frac{d}{dx}f(x)$とは$f(x)$を$x$で微分するという意味です。
両辺を$x$で微分すると
$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{-3}^{x}(t^2+2t-8)dt$
となり、この式の右辺が、公式の左辺とあてはまるようになりました。よって公式を使い
$f'(x)=\frac{d}{dx}\int_{-3}^{x}(t^2+2t-8)dt=x^2+2x-8$
$f'(x)=(x-2)(x+4)$
また、
$f(x)=\int_{-3}^{x}(t^2+2t-8)dt=\left[ \frac{t^3}{3}+t^2-8t \right]_{-3}^{x}$
$=\frac{x^3}{3}+x^2-8x-(\frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-8\times(-3))$
$=\frac{x^3}{3}+x^2-8x-24$
よって
$f(-4)=\frac{8}{3}$ $f(2)=-\frac{100}{3}$
これらより増減表は下の図のようになる。
| x | $\cdots$ | -4 | $\cdots$ | 2 | $\cdots$ |
| f'(x) | + | 0 | – | 0 | + |
| f(x) | $\nearrow$ | $\frac{8}{3}$ | $\searrow$ | $-\frac{100}{3}$ | $\nearrow$ |
よって$x=-4$で極大値$\frac{8}{3}$ $x=2$で極小値$-\frac{100}{3}$をとる。
解 $x=-4$で極大値$\frac{8}{3}$ $x=2$で極小値$-\frac{100}{3}$
今回は積分の基本的な問題でした！みなさんはできたかな？
これからも数学の問題を上げていこうと思いますのでぜひ見てください！
